Старажытныя задачы
У самых старажытных рукапісах егіпцян (каля 4 тысяч гадоў) захаваўся папірус Ахмеса. У ім даецца рашэнне 84 задач на розныя вылічэнні, якія могуць спатрэбіцца на практыцы. Некаторыя з гэтых задач здаліся б даволі складанымі вучню- старшакласніку нашай школы. Уяўляеце сабе, як цяжка было іх рашыць 4 тысячы гадоў назад! Бо ў старажытных егіпцян не было ні зручнага спосабу запісу лікаў, ні нашых правілаў арыфметычных дзеянняў, ні табліцы множання. Большая частка задач папірусу Ахмеса заснавана на арыфметыцы: задачы на арыфметычныя дзеянні, на прапарцыянальнае дзяленне і т. д. Пры гэтым згрупаваныя яны не па матэматычным змесце, а па тым, пра што ў іх ідзе гаворка. У Старажытным Егіпце яшчэ не ведалі і не падазравалі аб тым, што невядомыя лікі можна пазначаць літарамі, а потым працаваць з імі як з вядомымі велічынямі. З дробамі ў іх таксама былі складанасці. Аднак егіпцяне прыдумалі метад рашэння такіх задач, які атрымаў назву «метад кучы».
- Задачы Ахмеса
У доме 7 кошак, кожная кошка з'ядае 7 мышэй, кожная мыш з'ядае 7 каласоў, кожны колас дае 7 раслін, на кожнай расліне 7 мер збожжа. Колькі ўсіх разам ?
Тут цікава, што ў задачы трэба адказаць на пытанне: колькі ўсіх разам? Аўтара задачы не цікавіць, пра якія рэчы або прадметы ідзе гаворка, аднастайныя яны ці разнастайныя, - важна толькі іх агульная колькасць. Значыць, вельмі даўно егіпцяне ўжо прадстаўлялі сабе не лік кошак, ці каласоў, або мышэй, а менавіта сам па сабе лік. Але ж гэта зусім не так проста. Некаторыя задачы былі не вельмі складаныя, але падводзілі да цікавых высноў. Такая задача, як папярэдняя. У ёй трэба злічыць суму пяці лікаў, з якіх кожны наступныў 7 разоў больш за папярэдні. Каб рашыць яе, трэба было толькі цярпліва памнажаць на 7 і складаць. Такія сумы часта сустракаюцца і атрымалі асаблівую назву: сума геаметрычнай прагрэсіі.
У XIII стагоддзі італьянскі матэматык Леанарда Пізанскі, па мянушцы Фібаначы, прывёў у сваёй кнізе задачу, амаль не адрозную ад егіпецкай (хоць з часоў Ахмеса і мінула некалькі тысячагоддзяў): Сем старых жанчын адправіліся ў Рым. У кожнай старой па сямі аслоў, кожны асёл нясе па сямі мяшкоў, у кожным мяшку па сямі збажыны, у кожным хлебе па сямі нажоў, кожны нож у сямі ножнах. Колькі ўсяго прадметаў? Ад задачы Ахмеса яна адрозніваецца дадаваннем аднаго складаемага.
І на Русі рашаліся падобныя задачы. Яшчэ ў XIX стагоддзі ў вёсках загадвалі: «Ішлі сем старцаў. У кожнага старца па сямі мыліц. На кожным кастылі па сямі сучкоў, на кожным сучку па сямі кашалёў, у кожным кашалі па сямі пірагоў, у кожным пірагу па сямі вераб'ёў. Колькі ўсяго?» Тая ж задача Ахмеса! Пражыўшы тысячагоддзі, яна захавалася амаль нязменнай!
Старадаўняе рашэнне задач: 7 + 7 * 7 + 7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 * 7 + 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 19607. Сучаснае рашэнне задач: па формуле сумы першых 5 членаў геаметрычнай прагрэсіі: S5 = 7 * (75 - 1) = 19607. 7 - 1 Адказ: усіх разам 19607.
Старадаўнія рускія задачы з кнігі Л.Ф.Магніцкага «Арыфметыка»
Задача1 Ляцела чарада гусей, а насустрач ім яшчэ гусь. Гусь кажа: «Добры дзень, сто гусей». А яму адказваюць: "Нас не сто гусей, а менш. Калі б нас было столькі, ды яшчэ столькі, ды яшчэ паўстолькі, ды яшчэ чвэрць столькі, ды ты, гусь вось тады нас было б сто гусей».
Егіпецкі матэматык Ахмес, вырашаючы гэтую задачу, сказаў бы: «Лічы з чатырох». Гэта азначала: «Лічы, што ў зграі было 4 гусакі». Тады па ўмове задачы атрымаем: 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (гусей). А так як трэба атрымаць не 11, а 99 гусей (100 - 1 = 99; 99: 11 = 9), то трэба узяты спачатку лік 4 памножыць на 9. Атрымаецца правільны адказ - 36 гусей. Паколькі спачатку робіцца няправільнае меркаванне, што колькасць гусей роўна 4, гэты спосаб называюць зараз «Правілам фальшывага становішча» або «фальшывым правілам».
Задача 2 У настаўніка спыталі: «Колькі маеш вучняў у сябе, бо хачу аддаць сына да цябе ў вучылiшча". Настаўнік адказаў: «Калі да мяне прыйдзе вучняў яшчэ столькі ж, колькі маю, і паўстолькі, і чацвёртая частка, і твой сын, тады ў мяне вучняў будзе 100 ». Колькі было ў настаўніка вучняў?
Робім першую здагадку: вучняў было 24. Тады па сэнсе задачы да гэтага ліку трэба дадаць «столькі, паўстолькі, чвэрць столькі і 1», мелі б: 24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67, гэта значыць на 100-67 = 33 менш (чым патрабавалася па ўмове задачы), лік 33 называем «першым адхіленнем». Робім другую здагадку: вучняў было 32. Тады мелі б: 32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89, гэта значыць на 100-89 = 11 менш гэта «другое адхіленне». На выпадак, калі пры абодвух здагадках атрымалася менш, даецца правіла: памножыць першы сказ на другое адхіленне, а другі сказ на першае адхіленне, адняць ад большага здабытку меншы і рознасць падзяліць на рознасць адхіленняў: 32 * 33 - 24 * 11 33 - 11 = 36. Вучняў было 36. Такім жа правілам трэба кіравацца, калі пры абеіх здагадках атрымалася больш, чым належыць па ўмове. Напрыклад: Першае меркаванне: 52. 52 + 52 + 26 + 13 + 1 = 144. Атрымалі на 144-100 = 44 больш (першае адхіленне). Другая здагадка: 40. 40 + 40 + 20 + 10 + 1 = 111.Атрымалі на 111-100 = 11 больш (другое адхіленне). 40 * 44-52 * 11= 44 11 = 36. Калі пры адной здагадцы атрымаем больш, а пры іншым менш, чым патрабуецца па ўмове задачы, то трэба пры названых вышэй вылічэннях браць не рознасці, а сумы.
