Некаторыя задачы рускіх пісменнікаў.
Задача Л.Н.Талстога «Талака касцоў» Вядомы фізік А. В. Цынгер ў сваіх успамінах пра Л. Н. Талстога распавядае аб наступнай задачы, якая вельмі падабалася вялікаму пісьменніку: «Арцелі касцоў трэба было скасіць два лугі, адзін ўдвая большы за другі . Палову дня арцель касіла вялікі луг. Пасля гэтага арцель падзялілася напалову: першая палова засталася на вялікім лузе і дакасілі яго да вечара да канца; другая ж палова касіла малы луг, на якім да вечара яшчэ застаўся ўчастак, скошаны на другі дзень адным з касцоў за адзін дзень працы. Колькі касцоў было ў арцелі?»
Рашэнне задачы .
За адзінку (1) прымем дзённы аб'ём працы арцелі. Калі касцоў, да прыкладу, 10, то на аднаго чалавека прыходзіцца ў дзень 1/10 частка працы. Г.зн. калі мы даведаемся, якая частка работ прыпадае на аднаго, то будзем ведаць лік касцоў. А ва ўмове задачы ёсць такі ўчастак, гэта луг, скошаны на другі працоўны дзень. 1. Першую палову дня ўсе працавалі на першым полі, а значыць, яны зрабілі 1/2 ўсёй працы. У другой палове дня на гэтым полі працавала палова арцелі і таму зрабілі ў 2 разы менш - 1/4. Усяго першае поле складае 1/2 + 1/4 = 3/4. Г.зн. першае поле - гэта 3/4 ад усёй працы арцелі за дзень. На другім полі ў той дзень зроблена 1/4 - тут палова арцелі працавала палову дня. Заўважым, мы ўлічылі ўвесь дзённы аб'ём работ, праверым: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1. На другі дзень засталася дзённая норма аднаго касца. Зараз вядома, што першае поле ў 2 разы больш другога, г.зн. 3/4 = 2 * (1/4 + доля аднаго работніка). Адсюль доля аднаго работніка роўная = 3/4 * 1/2 - 1/4. Вылічаем, знаходзім 1/8. Значыць у арцелі 8 касцоў. Пасля друкавання першага выдання «займальныя алгебры» праф. А. В. Цингер даслаў аўтару падрабязнае і вельмі цікавае паведамленне, якое тычыцца гэтай задачы. Галоўны эфект задачы, на яго думку, у тым, што «яна зусім не алгебраічная, а арыфметычная і прытым вельмі простая, якая складаная толькі сваёй нешаблоннай формай».
«Гісторыя гэтай задачы такая, - працягвае праф. А. В. Цынгер. - У Маскоўскім універсітэце на матэматычным факультэце ў тыя часы, калі там вучыліся мой бацька і мой дзядзька І. І. Раеўскі (блізкі сябар Л. Талстога), сярод іншых прадметаў выкладалася нешта накшталт педагогікі. Для гэтай мэты студэнты павінны былі наведваць адведзеную для універсітэта гарадскую народную школу і там у супрацоўніцтве з вопытнымі настаўнікамі практыкавацца ў выкладанні. Сярод сяброў Цынгера і Раеўскага быў нейкі студэнт Пятроў, па расказах - надзвычай адораны і арыгінальны чалавек. Гэты Пятроў (памерлы вельмі маладым, здаецца, ад сухотаў) сцвярджаў, што на ўроках арыфметыкі вучняў псуюць, прывучаючы іх да шаблонных задачі да шаблонных спосабаў рашэння. Для пацверджання сваёй думкі Пятроў вынаходзіў задачы, якія з прычыны не шаблоннасці вельмі абцяжарвалі «вопытных настаўнікаў», але лёгка рашаліся больш здольнымі вучнямі, яшчэ не сапсаванымі вучобай. Да ліку такіх задач (іх Пятроў напісаў некалькі) адносіцца і задача аб арцелі касцоў. Вопытныя настаўнікі, зразумела, лёгка маглі рашыць яе пры дапамозе ўраўнення, але простае арыфметычнае рашэнне ад іх выпадала. Між тым, задача настолькі простая, што прыцягваць для яе вырашэння алгебраічны апарат зусім не варта. Калі вялікі луг паўдня касіла ўся арцель і паўдня паўарцелі, то ясна, што ў паўдня паўарцелі скошваць 1/3 луга. Такім чынам, на малым лузе застаўся няскошаны ўчастак у 1 / 2 - 1/3 = 1/6. Калі адзін касец у дзень скошвае 1/6 луга, а скошана было 6/6 + 2/6 = 8/6, то касцоў было 8. Талсты, усё жыццё любіў фокусныя, не занадта хітрыя задачы, гэтую задачу ведаў ад майго бацькі яшчэ з маладых гадоў. Калі аб гэтай задачы прыйшлося гутарыць мне з Талстым - ужо старым, яго асабліва захапіла тое, што задача робіцца нашмат больш ясна і празрысцей, калі пры рашэнні карыстацца самым прымітыўным чарцяжом ».
Задача ад А.П. Чэхава. У сваім апавяданні «Рэпетытар» Антон Паўлавіч Чэхаў прапануе цікавую задачу. Паслухайце урывак з гэтага твора: Гімназіст VII класа Ягор Зібераў міласціва падае Пеці Удодаву руку. Пеця, дванаццацігадовы хлопчык у шэрым касцюме, пухлы і ружовашчокі, з маленькім ілбом і пушыстымі валасамі, вітаецца і лезе ў шафы за сшыткамі. Занятак пачынаецца ... «Ну-с, - звяртаецца ён да Пеці. - Цяпер па арыфметыцы ... Бярыце дошку. Якая наступная задача? Пеця плюе на дошку і сцірае рукавом. Настаўнік бярэ задачнік і дыктуе: - «Купец купіў 138 арш. чорнага і сіняга сукна за 540 руб. Пытаецца, колькі аршын купіў ён таго і іншага, калі сіняе каштавала 5 руб. за аршын, а чорнае 3 руб.? » Паўтарыце задачу. Петя паўтарае задачу і адразу ж, ні слова не кажучы, пачынае дзяліць 540 на 138. - Для чаго ж гэта вы дзеліце? Пастойце! Зрэшты, так ... працягвайце. Рэшта атрымліваецца? Тут не можа быць астатку. Дайце-ка я падзялю! Зібераў дзеліць, атрымлівае 3 з астаткам і хутка сцірае. «Дзіўна ... - думае ён, уз’ярошваючы валасы і чырванеючы. - Як жа яна рашаецца? Гм! .. Гэта задача на нявызначаныя ўраўненні, а зусім не арыфметычная »... Настаўнік глядзіць у адказы і бачыць 75 і 63.« Гм! .. Дзіўна ... Скласці 5 і 3, а потым дзяліць 540 на 8? Так, ці што? Не, не тое ». - Рашайце жа! - Кажа ён Пеці. - Ну, чаго думаеш? Задача-то дробязная! - Кажа Удодаў Пецю. - Эх, які ты дурань, братка! Рашыце ўжо вы яму, Ягор Аляксеевіч. Ягор Аляксеевіч бярэ ў рукі грыфель і пачынае рашаць. Ён заікаецца, чырванее, бляднее. - Гэтая задача, уласна кажучы, алгебраічная, - кажа ён. - Яе з Іксом і Ігрэк рашыць можна. Зрэшты, можна і так рашыць. Я, вось, падзяліў ... разумееце? Цяпер, вось, трэба адняць ... разумееце? Ці, вось што ... Вы рашыце мне гэтую задачу самі да заўтра ... Падумайце ... Пеця яхідна усміхаецца. Ўдодаў таксама ўсміхаецца. Абодва яны разумеюць замяшанне настаўніка. Вучань VII класа яшчэ павялічвае канфуз, устае і пачынае хадзіць з кута ў кут. - І без алгебры рашыць можна, - кажа Удодаў, працягваючы руку да счотаў і ўздыхаючы. - Вось, дазвольце бачыць ... Ён шчоўкае на счотах, і ў яго атрымліваецца 75 і 63, што і трэба было. - Вось-с ... па-нашаму, па-нявучанаму. Настаўніку становіцца нясцерпна жудасна ... У апавяданні А. П. Чэхава «Рэпетытар» гімназіст Ягор Зібераў не здолеў рашыць арыфметычную задачу, а бацька вучня, адстаўны губернскі сакратар Удодаў, папстрыкаў на счотах, атрымаў правільны адказ.
Рашэнне задачы Паспрабуем рашыць гэтую задача арыфметычна. Вось яна. Купец купіў 138 аршын чорнага і сіняга сукна за 540 руб. Пытаецца, колькі аршын купіў ён і таго і іншага, калі сіняе каштавала 5 руб. за аршын, а чорнае - 3 руб.? Калі б купец набыў сукно аднаго тыпу, напрыклад сіняе, то ён заплаціў бы 138 * 5 = 690 руб. Якая ўтварылася рознасць у 150 руб. атрымана за кошт таго, што чорнае сукно падвышана ў цане на 2 руб. Значыць, чорнага сукна было 150: 2 = 75 аршын, а сіняга было 138-75 = 63 аршыны.
Задача сербскага сатырыка Браніслава Нушыча з яго «Аўтабіяграфіі» Калі шафёру спадара міністра сацыяльнага забеспячэння 40 гадоў 3 месяцы і 12 дзён, а мост у горадзе Квібек ў Канадзе мае даўжыню 577 метраў, то на колькіх жаўтках трэба замясіць лакшыну, каб накарміць чатырох чалавек рознага ўзросту, калі прыняць да ўвагі, што шырыня палатна на чыгунках Босніі 0,7 метра?
Ці можна рашыць гэтую задачу старадаўнім спосабам? Не. Задача не мае рашэння. Па яе умове таксама нельга скласці і ўраўненне, таму што зададзеныя велічыні паміж сабой ніяк не звязаныя. Яны не маюць ніякага дачынення адзін да аднаго.
