Геаметрычныя задачы на вычэрчванне фігур без адрыву алоўка ад паперы
Напэўна, усе памятаюць з дзяцінства, што вельмі папулярная была наступная задача: не адрываючы алоўка ад паперы і не праводзячы па адной лініі двойчы, начарціць "адкрыты канверт": Паспрабуйце начарціць "адкрыты канверт".
Як вы бачыце, што ў некаторых атрымліваецца, а ў некаторых не. Чаму гэта адбываецца? Як правільна чарціць, каб атрымалася? І для чаго гэта патрэбна?
Адзін гістарычны факт. Горад Кенігсберг (зараз ён называецца Калінінград) стаіць на рацэ. Некалі там было 7 мастоў, якія звязвалі паміж сабой берагі і два астраўкі. Жыхары горада заўважылі, што яны ніяк не могуць здзейсніць прагулку па ўсіх сямі мастах, прайшоўшы па кожнаму з іх роўна адзін раз.
Так з’явілася галаваломка: "Ці можна прайсці ўсе сем кёнігсбергскіх мастоў роўна адзін раз і вярнуцца ў зыходнае месца?".
У 1735 годзе гэта задача стала вядомая Леанарду Эйлеру. Эйлер высветліў, што такога шляху няма, г. зн. даказаў, што гэтая задача невырашальная. Вядома, Эйлер рашыў не толькі задачу аб кёнігсбергскіх мастах, а цэлы клас аналагічных задач, для якіх распрацаваў метад рашэння. Можна заўважыць, што задача складаецца ў тым, каб па карце правесці маршрут - лінію, не адрываючы алоўка ад паперы, абыйсці ўсе сем мастоў і вярнуцца ў пачатковую кропку. Таму Эйлер стаў разглядаць замест карты мастоў схему з пунктаў і ліній, адкінуўшы масты, узгоркі і берагі, як нематэматычныя паняцці. Вось што ў яго атрымалася:
А, В - узгоркі, M, N - берагі, а сем крывых - сем мастоў.
Зараз задача такая - абысці контур на малюнку так, каб кожная крывая праводзілася роўна адзін раз. У наш час такія схемы з пунктаў і ліній сталі называць графамі, пункты называюць вяршынямі графа, а лініі - рэбрамі графа. У кожнай вяршыні графа сыходзіцца некалькі ліній. Калі лік ліній цотны, то вяршыня называецца цотнай, калі лік вяршынь няцотны, то вяршыня называецца няцотнай.
Дакажам невырашальнасць нашай задачы. Як бачым, у нашым графе ўсе вяршыні няцотныя. Для пачатку дакажам, што, калі абыход графа пачынаецца не з няцотнага пункту, то ён абавязкова павінен скончыцца ў гэтым пункце.
Разгледзім для прыкладу вяршыню з трыма лініямі. Калі мы па адной лініі прыйшлі, па іншай выйшлі, і па трэцяй зноў вярнуліся. Усё, далей ісці няма куды (рэбраў больш няма). У нашай задачы мы сказалі, што ўсе пункты няцотныя, значыць, выйшаўшы з адной з іх, мы павінны скончыць адразу ў трох астатніх няцотных пунктах, чаго не можа быць. Да Эйлера ні каму ў галаву не прыходзіла, што галаваломкі аб мастах і іншыя галаваломкі з абыходам контуру, мае дачыненне да матэматыкі. Аналіз Эйлера такіх задач "з'яўляецца першым парасткам новай вобласці матэматыкі, сёння вядомай пад назвай тапалогія".
Тапалогія - гэта раздзел матэматыкі, які вывучае такія ўласцівасці фігур, якія не мяняюцца пры дэфармацыях, якія вырабляюцца без парываў і склейвання. Напрыклад, з пункту гледжання тапалогіі, круг, эліпс, квадрат і трохвугольнік валодаюць аднолькавымі ўласцівасцямі і з'яўляюцца адной і той жа фігурай, так як могуць дэфармавацца адну ў іншую, а вось кольца да іх не ставіцца, бо, каб яго дэфармаваць у круг, неабходнае злепліванне.
Правілы вычэрчвання графа.
1. Калi ў графе няма няцотных пунктаў, то яго можна начарціць адным росчыркам, не адрываючы алоўка ад паперы, пачынаючы з любога месца.
2. Калi ў графе дзве няцотныя вяршыні, то яго можна начарціць адным росчыркам, не адрываючы алоўка ад паперы, прычым вычэрчванне трэба пачынаць у адной няцотнай кропцы, а скончыць у іншай.
3. Калi ў графе больш за два няцотныя пункты, то яго нельга начарціць адным росчыркам алоўка.
Вернемся да нашай задачы з адкрытым канвертам. Падлічым колькасць цотных і няцотных кропак: 2 няцотныя і 3 цотныя, значыць, гэтую фігуру можна начарціць адным росчыркам, прычым пачаць трэба ў няцотнай кропцы.
Вызначце, якія фігуры можна пабудаваць, а якія нельга.
а) Усе пункты цотныя, таму гэтую фігуру можна пабудаваць, пачынаючы з любога месца, напрыклад:
б) У гэтай фігуры два няцотныя пункты, таму яе можна пабудаваць не адрываючы, алоўка ад паперы, пачынаючы з няцотнага пункта.
в) У гэтай фігуры чатыры няцотныя пункты, таму яе нельга пабудаваць.
г) Тут усе пункты цотныя, таму яе можна пабудаваць, пачынаючы з любога месца.
Праверце, ці можна здзейсніць прагулку па ўсіх мастах, прайшоўшы па кожнаму з іх роўна адзін раз. І калі можна, то намаляваць шлях.
