Прасцейшыя задачы прыкладнога характару
Перад чалавекам да розуму, як казаў старажытны мысліцель і філосаф Канфуцый, які жыў прыкладна 2,5 тысячы гадоў таму, тры шляхі:
шлях разважання - гэта шлях самы высакародны,
шлях пераймання - гэта шлях самы лёгкі і
шлях вопыту - гэта шлях самы горкі.
Нягледзячы на тое, што шлях вопыту - самы горкі, ужо за некалькі стагоддзяў да нашай эры ў Вавілоне, Кітаі і Грэцыі існавалі пачатковыя геаметрычныя веды, якія здабываліся дасведчаным шляхам.
Геаметрыя - адна з самых старажытных навук. У перакладзе з грэчаскага слова «геаметрыя» азначае «землямер» ( «гео» - зямля, «метрео» - мераць). Такая назва тлумачыцца тым, што зараджэнне геаметрыі было звязана з рознымі вымяральнымі працамі, якія даводзілася выконваць пры разметцы зямельных участкаў, правядзенні дарог, будаўніцтве будынкаў і іншых збудаванняў. У выніку гэтай дзейнасці з'явіліся і паступова назапашваліся розныя правілы, звязаныя з геаметрычнымі вымярэннямі і пабудовамі. Такім чынам, геаметрыя ўзнікла на аснове практычнай дзейнасці людзей і ў пачатку свайго развіцця служыла пераважна практычным мэтам.
Вялікія матэматыкі таго часу - Фалес, Піфагор, Архімед, Платон, Еўклід унеслі вялікі ўклад у яе развіццё. Ужо ў старажытным свеце людзі займаліся рашэннем практычных задач. Зыходзячы з практыкі, паўстала і тэорыя.
Рашэнне практычных задач старажытнымі геаметрамі дазваляе:
• знаходзіць на мясцовасці адлегласць паміж двума пунктамі, якое немагчыма прайсці па прамой;
• знаходзіць на мясцовасці адлегласць паміж двума пунктамі, адзін з якіх недаступны;
• вызначаць вышыню высокіх прадметаў;
• будаваць прамыя вуглы на мясцовасці;
• знаходзіць даўжыню вялікай акружнасці;
• вызначаць без компаса бакі гарызонту;
• будаваць акружнасць пры дапамозе вяроўкі і г.д.
Гістарычныя звесткі.
Землямеры Старажытнага Егіпта для пабудовы прамога вугла карысталіся наступным прыёмам. Вяроўку вузламі дзялілі на 12 роўных частак і канцы звязвалі. Затым вяроўку расцягвалі на зямлі так, што атрымліваўся трохвугольнік з бакамі 3, 4 і 5 дзяленняў. Вугал трохвугольніка, процілеглы баку ў 5 дзяленняў, быў прамы. Калі рамеснікі карысталіся вяроўкай заўсёды адной і той жа строга вызначанай даўжыні, то плошча такога прамавугольнага трохвугольніка прымалася за эталон. У цяперашні час такі трохвугольнік называецца «егіпецкі» у гонар краіны, у якой быў «адкрыты».
У старажытныя часы егіпцяне, прыступаючы да пабудовы піраміды, палаца або звычайнага дома, спачатку адзначалі кірунак бакоў гарызонту. Гэта вельмі важна, так як асветленасць ў будынку залежыць ад становішча яго вокнаў і дзвярэй у адносінах да сонца. Дзейнічалі яны наступным чынам. Утыкалі ў зямлю стромы шост. У апоўдні цень ад шаста станавілася карацей за ўсё і паказвала накірунак на поўнач. Егіпецкія будаўнікі намячалі лінію поўнач - поўдзень. Для правядзення лініі ўсход - захад бралі вяроўку з двума калкамі і праводзілі на зямлі дугі так, як гэта паказана на малюнку.
Праз пункты перасячэння дуг нацягвалі вяроўку. Гэта і ёсць накірунак з усходу на захад.
Егіпцяне таксама ўмелі знаходзіць даўжыню акружнасці. У глыбокай старажытнасці лічылася, што для гэтага дастаткова ўзяць самую шырокую частку сярэдзіннага перасеку бочкі і памножыць яе на 3. Гэта было не строга дакладна, але цалкам дастаткова для штодзённых вымярэнняў.
Аднойчы грэчаскаму вучонаму Фалесу прапанавалі знайсці вышыню велічэзнай піраміды. Ён уваткнуў доўгую палку вертыкальна ў зямлю і сказаў: «Калі цень ад гэтай палкі будзе той жа даўжыні, што і сама палка, цень ад піраміды будзе мець тую ж даўжыню, што і вышыня піраміды».
Фалес умеў знаходзіць адлегласць да недаступных пунктаў, ужываючы прыкметы роўнасці і падабенства трохвугольнікаў. Ён даказаў, што дыяметр дзеліць круг напалову, што пры згінанні круга па дыяметры адна палова ў дакладнасці ляжа на іншую.
Ён таксама ведаў, што ўтвораныя пры перасячэнні дзвюх прамых вертыкальныя вуглы роўныя.
Жыхарамі краін Старажытнага Свету шырока выкарыстоўваліся веды па геаметрыі. Пра гэта сведчаць папірусы, знойдзеныя ў схованках гэтых краін. Мяркуючы па захаваўшымся задачах, матэматыкам Вавілона было ўжо вядома ўласцівасць сярэдняй лініі трапецыі. У кнігах старажытнаіндыйскай геаметрыі сустракаюцца апісанні вылічэнні плошчаў, пабудовы квадрата па дадзенай яго старане, дзяленне адрэзка напалову.
Кітайскім вучоным было вядома правіла для вызначэння плошчы круга: «Памножым дыяметр сам на сябе, раздзялі на 4, вазьмі тры разы».
Вымярэнні голымі рукамі. «Змерай самога сябе - і ты станеш сапраўдным геаметрам!" - усклікнуў сярэднявечны філосаф Марсілія Фічына. Вядома, вымераць самога сябе і стаць сапраўдным геаметрам вельмі цяжка. Не кожнаму ўдаецца зрабіць гэта за ўсё жыццё. Кожнаму чалавеку, які навучыўся лічыць і пісаць, неаднаразова даводзілася што-небудзь вымяраць: вышыню дрэва, уласную вагу, даўжыню скачка і многае іншае. Але не заўсёды ў падарожжы мы маем сантыметровую стужку. Добра было б кожнаму з нас абзавесціся «жывым метрам», каб у выпадку патрэбы карыстацца ім для вымярэнняў. Карысна таксама памятаць, што ў большасці людзей адлегласць паміж канцамі расстаўленых рук роўна росту - правіла, прыкмечанае геніяльным мастаком і навукоўцам Леанарда да Вінчы: яно дазваляе карыстацца нашымі «жывымі метрамі».
Мастацтва мераць крокамі. Апынуўшыся на дарозе, мы можам выканаць шэраг цікавых геаметрычных вымярэнняў. Перш за ўсё, выкарыстаем шашу, каб вымераць даўжыню свайго кроку і хуткасць хады. Гэта дасць магчымасць вымяраць адлегласці крокамі - навык, які набываецца даволі лёгка пасля нядоўгіх практыкаванняў. Галоўнае тут- прывучыць сябе рабіць крокі заўсёды аднолькавай даўжыні. На шашы праз кожныя 100 м усталяваны белы слуп, прайшоўшы такі 100-метровы прамежак сваім звычайным крокам і злічыўшы лік крокаў, вы лёгка знойдзеце сярэднюю даўжыню свайго кроку.
Адзначым цікавыя суадносіны, выяўленыя шматразовымі вымярэннямі: сярэдняя даўжыня кроку дарослага чалавека роўная прыкладна палове яго росту, лічачы да ўзроўню вачэй. Калі, напрыклад, рост чалавека да ўзроўню вачэй 1,4 м, то даўжыня яго кроку - каля 70 см.
Як вызначыць вышыню высокага прадмета спосабам Жуля Верна
Узяць шост, вымераць яго даўжыню і вертыкальна ўторкнуць у зямлю насупраць высокага прадмета, вышыню якога трэба знайсці. Другому ўдзельніку трэба легчы на зямлю так, каб край шаста супаў з самай высокай кропкай прадмета. Адлегласць ад шаста да галавы ўдзельніка так адносіцца да адлегласці ад галавы да асновы высокага прадмета, як вышыня шаста да вышыні прадмета. Застаецца вылічыць вышыню прадмета так: вышыню шаста памножыць на адлегласць ад прадмета да галавы ўдзельніка, які ляжыць на зямлі, і падзяліць на адлегласць ад шаста да галавы ўдзельніка.
Як вызначыць бакі гарызонту
Егіпецкія будаўнікі рабілі так. Утыкалі ў зямлю стромы шост. У поўдзень, калі цень ад шаста была карацей за ўсё, яна паказвала кірунак на поўнач. Азначаецца на зямлі лінія поўнач-поўдзень.Затым бярэцца вяроўка з двума калкамі і праводзяцца на зямлі дугі так, як гэта паказана на малюнку.
Праз кропкі перасячэння дуг нацягваецца вяроўка. Гэта і будзе напрамак з усходу на захад. Дарэчы, лініі поўнач-поўдзень і захад-ўсход перасякаюцца пад прамым вуглом. Таму, можна з планак вырабіць прамавугольны трохвугольнік і выкарыстоўваць яго ў выпадку неабходнасці.
Як вымяраць голымі рукамі
Калісьці геніяльны мастак і навуковец Леанарда да Вінчы прымеціў правіла, што ў большасці людзей адлегласць паміж канцамі расстаўленых рук роўна росту чалавека. Але спадзявацца на сярэднюю велічыню не варта: кожны павінен вымераць свой рост і размах сваіх рук. 
Задачы знаходжання адлегласцей да недаступных пунктаў у старажытнасці вырашаў Фалес. У наш час рашэнне такіх задач таксама знаходзіць прымяненне. Выкарыстоўваючы прыкметы падабенства трохвугольнікаў, можна знаходзіць на мясцовасці адлегласць паміж двума пунктамі, якое немагчыма прайсці па прамой лініі і адлегласць паміж двума пунктамі, адзін з якіх недаступны. Абедзве задачы сустракаюцца ў падручніку А.В.Пагарэлава. З мноства існуючых спосабаў вымярэння вышыні дрэва, не ссякаючы яго і не ўзбіраючыся на верхавіну, пры дапамозе вельмі немудрагелістых прыбораў і нават без усялякіх прыстасаванняў можна выбраць самы лёгкі і самы старажытны спосаб - той, якім грэчаскі мудрэц Фалес за шэсць стагоддзяў да нашай эры вызначыў у Егіпце вышыню піраміды. Ён выкарыстаў яе цень. Фалес, - кажа паданне, - выбраў дзень і час, калі даўжыня ўласнай яго цені была роўная яго росту. У гэты момант вышыня піраміды павінна таксама раўняцца даўжыні сваёй цені. А каб выкарыстаць цень для вырашэння задачы аб вышыні піраміды, трэба было валодаць ведамі аб некаторых геаметрычных ўласцівасцях трохвугольніка. Спосаб Фалеса ў паказаным выглядзе не заўсёды дакладны, так як сонца ў нас нізка стаіць над гарызонтам, і цені роўныя вышыні прадметаў бываюць толькі ў поўдзень у часы летніх месяцаў. Няцяжка, аднак, змяніць гэты спосаб так, каб у сонечны дзень можна было карыстацца любым ценем, якой бы даўжыні ён ні быў. Вымераўшы, акрамя таго, і свой цень ці цень якога-небудзь шаста, вылічваюць шуканую вышыню з прапорцыі: AB: А1В1 = BC: В1С1 г.зн. вышыня дрэва ў гэтулькі жа разоў больш вашай уласнай вышыні, у колькі разоў цень дрэва даўжэй вашага ценю.
