Занятак 3. ГІТАРЫЧНЫЯ ЗВЕСТКІ

Фігурныя лікі
Даўным - даўно, дапамагаючы сабе пры ліку каменьчыкамі, людзі звярталі ўвагу на правільныя фігуры, якія можна выкласці з каменьчыкаў. Можна проста класці каменьчыкі ў рад: адзін, два, тры. Калі класці іх у два рады, каб атрымліваліся прамавугольнікі, мы ўбачым, што атрымліваюцца ўсе цотныя лікі. Можна выкладваць камяні ў тры рады: атрымаюцца лікі, якія дзеляцца на тры. Кожны лік, які на што-небудзь дзеліцца, можна прадставіць такім прамавугольнікам, і толькі простыя лікі не могуць быць "прамавугольнымі". Аказваецца, што існуюць лікі, якія можна выкладваць у выглядзе геаметрычных тэл. Гэта - цялесныя лікі (прасторавыя фігурныя лікі).
Фігурныя лікі былі вядомыя яшчэ ў глыбокай старажытнасці. Мяркуюць, што ўпершыню яны з'явіліся ў VI стагоддзі да нашай эры - у школе Піфагора. У далейшым многія матэматыкі цікавіліся гэтымі лікамі. Пра іх даказана шмат важных і складаных тэарэм. 
Лікі старажытнымі грэкамі, а разам з імі Піфагорам і піфагарэйцамі, прадстаўляліся ў выглядзе каменьчыкаў, раскладзеных на пяску або на падліковай дошцы - абаку. Па гэтай прычыне грэкі не ведалі нуля, бо яго немагчыма было "убачыць". Але і адзінка яшчэ не была паўнапраўным лікам, а ўяўлялася як нейкі "лікавы атам", з якога ўтвараліся ўсе лікі. Піфагарэйцы называлі адзінку "мяжой паміж лікам і часткамі", г.зн. паміж цэлымі лікамі і дробамі, але ў той жа час бачылі ў ёй  "насенне і вечны корань". Лік жа вызначаўся як мноства, складзенае з адзінак. Асаблівае становішча адзінкі як "лікавага атаму", радніла яе з пунктам, які лічыўся "геаметрычным атамам". Вось чаму Арыстоцель пісаў: "Пункт ёсць адзінка, якая мае становішча, адзінка ёсць пункт без становішча". Т.ч. , піфагарыйскія лікі ў сучаснай тэрміналогіі - гэта натуральныя лікі. 
Лічбы-каменьчыкі раскладваліся ў выглядзе правільных геаметрычных фігур, гэтыя фігуры класіфіцыраваліся. Так з’явіліся лікі, сёння названыя фігурнымі. 
Такім чынам, фігурныя лікі - агульная назва лікаў, геаметрычнае прадстаўленне якіх звязана з той ці іншай геаметрычнай фігурай. 
Адрозніваюць наступныя віды фігурных лікаў:
Лінейныя лікі (г.зн. простыя лікі) - лікі, якія дзеляцца толькі на адзінку і на саміх сябе і, такім чынам, прадстаўленыя ў выглядзе паслядоўнасці пунктаў, выбудаваных у лінію (1,2, 3,5,7,11,13,17,19,23, ...):
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\lin_sh.gif (лінейны лік 5)
Плоскія лікі - лікі, прадстаўленыя ў выглядзе здабытку двух множнікаў (4,6,8,9, 10,12,14,15, ...):
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\pl_sh.gif (плоскі лік 6)


Аб’ёмныя лікі, выяўляюцца здабыткам трох множнікаў (8,12,18,20,24,27,28, ...):
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\tel_sh.gif (аб’ёмны лік 8)

(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., \frac{1}{2}n(n+1), ... )
Трохвугольныя лікі:
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\treug_sh.gif
(трохвугольныя лікі 3,6,10)


Квадратныя лікі - (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100, ..., n2, ...) выяўляюцца здабыткам двух аднолькавых лікаў, г.зн. з'яўляюцца поўнымі квадратамі. 
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\kwadr_sh.gif
(Квадратныя лікі 4,9,16)

(1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ..., \frac{1}{2}n(3n-1), ...)
Пяцівугольныя лікі:

(пяцівугольныя лікі 12, 5)


Кубічныя лікі.


 Вельмі цікавыя кубічныя лікі, якія ўзнікаюць пры складанні кубікаў:
1) 2 * 2 * 2 = 8 (два паверхі з квадратаў 2 * 2
2). 3 * 3 * 3 = 27 (тры паверхі з квадратаў 3 * 3
3) 4 * 4 * 4 = 64 (чатыры паверхі з квадратаў 4 * 4
4) 5 * 5 * 5 = 125, 6 * 6 * 6 = 216, 7 * 7 * 7 = 343, 8 * 8 * 8 = 512, 9 * 9 * 9 = 729, 10 * 10 * 10 = 1000 і гэтак далей. Зараз зразумела, чаму пра такія лічбы кажуць: "два ў кубе", "тры ў кубе", "дзесяць у кубе"? 
Пірамідальная лікі ўзнікаюць пры складанні круглых каменьчыкаў горкай так, каб яны не рассыпаліся.  Атрымліваецца піраміда. Кожны пласт у такой пірамідзе - трохвугольны лік. Наверсе адзін каменьчык, пад ім - 3, пад тымі - 6 і г.д .: 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6 = 10, 1 + 3 + 6 + 10 = 20, ...
l19-4
Фігурнае прадстаўленне лікаў дапамагало піфагарэйцам адкрываць законы арыфметычных аперацый, а таксама лёгка пераходзіць да лікавай характарыстыкі геаметрычных аб'ектаў - вымярэнні плошчаў і аб'ёмаў. Так, прадстаўляючы лік 10 у двух формах: 5 * 2 = 2 * 5, лёгка "убачыць" перамяшчальную ўласцівасць  множання:
a * b = b * a. 
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\per_z.gif
У тым жа ліку 10: (2 + 3) * 2 = 2 * 2 + 3 * 2 = 10 можна "разгледзіць" і размеркавальную ўласцівасць складання адносна множання: (a + b) c = ac + bc. 
C:\Documents and Settings\Sasha1\Мои документы\Фигурные числа\Фигурные числа.files\rasp_z.gif
Нарэшце, калі "каменьчыкі", якія ўтвараюць фігурныя лікі, прадставіць у выглядзе роўных па плошчы квадрацікаў, то, укладваючы іх у прамавугольны лік ab: аўтаматычна атрымліваем формулу для вылічэння плошчы прамавугольніка:                                 
S = ab. 
П'ер Ферма выявіў, напрыклад, што
а) усякі натуральны лік ёсць трохвугольны лік, або сума двух або трох трохвугольных лікаў; 
б) усякі натуральны лік ёсць квадрат, або сума двух, трох ці чатырох квадратных лікаў; 
в) усякі натуральны лік ёсць пяцівугольны лік, або сума двух, трох, чатырох ці пяці пяцівугольных лікаў; 
г) навогул, любы натуральны лік можа быць прадстаўлены ў выглядзе сумы не больш чым k k-вугольных лікаў. 
Лічыцца, што менавіта ад фігурных лікаў пайшоў выраз «Узвядзенне ў квадрат або куб». 
Паглядзіце: 1 + 3 = 4 (г.зн. 22), 3 + 6 = 9 (г.зн. 32), 6 + 10 = 16 (г.зн. 42) і г.д.

Лічэнне на каменьчыках пакінула глыбокі след у гісторыі матэматыкі. Старажытныя грэкі, калі ім даводзілася памнажаць лікі, малявалі прамавугольнікі, вынікам множання трох на пяць быў прамавугольнік са старанамі тры і пяць. Гэта - развіццё лічэння на каменьчыках. Мноства заканамернасцей, якія ўзнікаюць пры дзеяннях з лікамі, былі выяўленыя старажытнагрэчаскімі вучонымі пры даследаванні чарцяжоў. І доўгія стагоддзі лепшым пацвярджэннем справядлівасці такіх суадносін лічыўся спосаб геаметрычны, з прамавугольнікамі, квадратамі, пірамідамі і кубамі.
Подписаться на: Сообщения (Atom)