Як узнікла арыфметыка?
Слова «арыфметыка» паходзіць ад грэчаскага “arithmos”, што азначае «лік». Арыфметыка - частка матэматыкі. Гэта навука аб ліках і дзеяннях над імі, яна вывучае розныя правілы арыфметычных дзеянняў, вучыць рашаць задачы, якія зводзяцца да складання, аднімання, множання і дзялення.С дапамогай натуральных лікаў, якія вывучаюцца ў курсе арыфметыкі, складаюца многія матэматычныя паняцці. Арыфметыку лічаць вельмі карыснай і зручнай «азбукай лічэння». Выконваць арыфметычныя дзеянні хутка і беспамылкова лічылася вялікім мастацтвам і з'яўлялася асноўнай задачай арыфметыкі. Арыфметыка ўзнікла ў глыбокай старажытнасці з практычных патрэб лічэння прадметаў і найпрасцейшых вымярэнняў зямельных участкаў, вядзення лічэння часу і іншых патрэб. Арыфметыка пастаянна развівалася ў сувязі з гаспадарчай дзейнасцю, рознымі грашовымі разлікамі, рашэннем задач, звязаных з вымярэннямі адлегласці, часу, плошчы, і дзякуючы патрабаванням, якія прад'яўлялі да яе іншыя навукі. Мяркуецца, што арыфметыка ўзнікла ў краінах Старажытнага Ўсходу - Вавілоне, Кітаі, Індыі і Егіпце. Крыніцай першых пэўных звестак аб стане арыфметычных ведаў у эпоху старажытных цывілізацый з'яўляюцца пісьмовыя дакументы Старажытнага Егіпту (матэматычныя папірусы), напісаныя прыблізна за 2 тыс. гадоў да н. э. Гэта - зборнікі задач з указаннямі іх рашэнняў, правіл дзеянняў над цэлымі лікамі і дробамі, з дапаможнымі табліцамі без якіх бы там ні было тлумачэнняў тэарэтычнага характару.
У Старажытным Вавілоне ў III-II тыс. г. да н. э. таксама быў даволі высокі ўзровень арыфметычнай культуры, пра што дазваляюць судзіць клінапісныя матэматычныя тэксты.У пачатку развіцця грамадства, калі чалавеку не патрабаваліся вялікія лікі, людзі для лічэння абыходзіліся пальцамі адной рукі, потым двух, потым пальцамі рук і ног. Пазней усё часцей узнікала неабходнасць пералічваць такую колькасць прадметаў, на якую пальцаў не хапала. Паступова былі прыдуманыя новыя спосабы вылічэння. У Афрыцы некаторыя плямёны да гэтага часу лічаць на каменьчыках і арэхах. Даходзячы да 5, складаюць іх асобна ў маленькую купку. Жыхары астравоў Ціхага акіяна вядуць лічэнне на какосавых хвосціках, адкладаючы маленькі хвосцік кожны раз, як яны даходзяць да 10, і вялікі, - калі даходзяць да 100.
Прайшлі многія тысячы гадоў. Развіліся абмен і гандаль, якія запатрабавалі ад людзей новыя навыкі ў лічэнні, у дзеяннях з лікамі. Так паступова з'явіліся арыфметычныя дзеянні.
Складанне
Людзі навучыліся лічыць яшчэ ў каменным веку. Лікі служылі для лічэння прадметаў, дзён, крокаў і гэтак далей. На месцах стаянак першабытных людзей вучоныя знаходзілі косткі з засечкамі - так нашы далёкія продкі фіксавалі колькасць прадметаў. Але колькасць прадметаў то павялічвалася, то памяншалася, таму важна было ўмець складаць і аднімаць. Дапамагаў у гэтым нашым далёкім продкам іх першабытны камп’ютар - дзесяць пальцаў на руках. Загінаў чалавек пальцы - складваў, разгінаў - аднімаў. Сапраўды гэтак жа, як робіць гэта кожнае маленькае дзіця, калі вучыцца лічыць. Сотні гадоў людзі старажытнага свету выконвалі складанне падобным жа чынам. Працяглы час складанне лікаў людзі выконвалі толькі вусна з дапамогай якіх-небудзь прадметаў - пальцаў, каменьчыкаў, ракавінак, бабоў і інш., а пазней на спецыяльных прыборах - падліковай дошцы, абаку, лічыльніках. Але з развіццём цывілізацыі людзям спатрэбілася вынаходзіць усе большыя і большыя лікі. Гэты працэс працягваўся на працягу многіх стагоддзяў і запатрабаваў напружанай інтэлектуальнай працы. Веды і навыкі па прыёмах лічэння назапашваліся адначасова ў многіх краінах Старажытнага свету: Вавілоне, Кітаі, Індыі, Егіпце.
Толькі пасля таго, як была вынайдзена пазіцыйная сістэма злічэння, і лікі сталі запісваць лічбамі, падобна таму як гэта робім мы, тыбецкія мудрацы знайшлі спосаб складання лікаў у пісьмовым выглядзе. Пры вылічэннях яны запісвалі лічбы палачкай на пяску, насыпаным на спецыяльна прыгатаваную дошку. Лічбы, намаляваныя на пяску, лёгка было сціраць, а на іх месцы запісваць іншыя. Верагодна, гэтым можна растлумачыць некаторыя асаблівасці індыйскага прыёму складання лікаў. У Старажытнай Індыі было прынята запісваць складаемыя ў слупок - адно пад другім, суму ж запісвалі над складаемымі, складанне пачыналі з найвышэйшага разраду, г. зн. злева направа. Калі запісаная ў суме лічба пры складанні наступнага ніжэйшага разраду змянялася, то раней запісаную лічбу сціралі, а на яе месца ўпісвалі новую.
Індыйскі прыём складання запазычылі матэматыкі Сярэдняга і Блізкага Усходу, а ад іх у пачатку 9 стагоддзя ён перавандраваў у Еўропу. У пачатку 15 стагоддзя дзеянне складання сталі пазначаць пачатковай літарай слова плюс (у лацінскім алфавіце - Р), якое азначала «скласці». Да канца таго ж стагоддзя асобныя матэматыкі сталі пазначаць складанне знакам +, які неўзабаве атрымаў ўсеагульнае прызнанне. Гэта хуткае прызнанне новага знака адбылося, мабыць, таму, што яго напісанне нагадвае складанне двух палачак.
Адніманне
У Старажытнай Індыі адніманне лікаў выконвалі спосабам адлічвання ад памяншаемага па адным, пакуль не атрымаецца адымаемае. Напрыклад, адымаючы ад дзевяці пяць, лічылі: «Дзевяць без аднаго - восем, дзевяць без двух - сем, дзевяць без трох - шэсць, дзевяць без чатырох - пяць, дзевяць без пяці - чатыры. Усе адзінкі, якія адымаюцца (пяць) вычарпаныя, такім чынам, 9 - 5 = 4 ».
Арабы не сціралі лічбы, а перакрэслівалі іх і надпісвалі новую лічбу над перакрэсленай. Гэта было вельмі нязручна. Тады арабскія матэматыкі, выкарыстоўваючы той жа прыём аднімання, сталі пачынаць дзеянне з ніжэйшых разрадаў, г.зн. працаваў новы спосаб аднімання, падобны з сучасным. Для абазначэння аднімання ў III ст. да н. э. у Грэцыі выкарыстоўвалі перавернутую грэчаскую літару псі (Ф). Італьянскія матэматыкі карысталіся для абазначэння аднімання літарай М, пачатковай ў слове мінус. У 16 стагоддзі для абазначэння аднімання сталі ўжываць знак «-». Верагодна, гэты знак перайшоў у матэматыку з гандлю. Гандляры, адліваючы для продажу віно з бочак, рысачкай мелам пазначалі лік мер прададзенага з бочкі віна.
Множанне
Множанне - гэта асаблівы выпадак складання некалькіх аднолькавых лікаў. У далёкія часы людзі вучыліся перамнажаць ужо пры падліку прадметаў. Так, лічачы па парадку лікі 17, 18, 19, 20, яны павінны былі прадстаўляць 20 не толькі як 10 + 10, але і як два дзесяткі, гэта значыць 2 • 10; 30 - як тры дзесяткі, тры разы паўтарыць складаемым дзясятак і гэтак далей. Множыць людзі пачалі значна пазней, чым складаць. Егіпцяне выконвалі множанне пасродкам паўторнага складання або паслядоўнага падваення. У Вавілоне пры перамнажэнні лікаў карысталіся адмысловымі табліцамі множання - «продкамі» сучасных. У Старажытнай Індыі ўжывалі спосаб множання лікаў, вельмі блізкі да сучаснага. Індыйцы праводзілі множанне лікаў пачынаючы з вышэйшых разрадаў. Пры гэтым яны сціралі тыя лічбы, якія пры наступных дзеяннях трэба было замяняць, так як да іх дадавалі лік, цяпер запамінаемы намі пры множанні. Такім чынам, матэматыкі Індыі адразу запісвалі вынік, выконваючы прамежкавыя вылічэнні на пяску або ў розуме. Індыйскі прыём множання перайшоў да арабаў. Але арабы не сціралі лічбы, а перакрэслівалі іх і надпісвалі новую лічбу над перакрэсленай. У Еўропе працяглы час дзеянне называлі сума множання. Назва «множнік» згадваецца ў працах у 6 стагоддзі, а «множанне» - у 13 стагоддзі. У 17 стагоддзі некаторыя з матэматыкаў сталі пазначаць множанне касым крыжыкам - х, а іншыя ўжывалі для гэтага кропку. У 16-17 стагоддзях для абазначэння дзеянняў множання ўжывалі розныя сімвалы - аднастайнасці ў іх ужыванні не было. Толькі ў канцы 18 стагоддзя большасць матэматыкаў сталі ўжываць у якасці знака множання кропку, але дапускалі і ўжыванне касога крыжа. Знакі множання (•, х) і знак роўнасці (=) сталі агульнапрызнанымі дзякуючы аўтарытэту знакамітага нямецкага матэматыка Готфрыда Вільгельма Лейбніца (1646- 1716).
Дзяленне
Два любыя натуральныя лікі заўсёды можна скласці, а таксама памножыць. Адніманне з натуральнага ліку можна выканаць толькі тады, калі адымаецца менш памяншаемага. Дзяленне ж без астатку выконваецца толькі для некаторых лікаў, прычым даведацца, ці дзеліцца адзін лік на другі, складана. Акрамя таго, ёсць лікі, якія навогул нельга падзяліць ні на які лік, акрамя адзінкі. Дзяліць на нуль нельга. Гэтыя асаблівасці дзялення значна ўскладнілі шлях да ўсведамлення прыёмаў дзялення.
У Старажытным Егіпце дзяленне лікаў выконвалі спосабам падваення і медыяцыі, г.зн. дзяленнем на два з наступным складаннем адабраных лікаў. Матэматыкі Індыі вынайшлі спосаб «дзяленне ўверх». Яны запісвалі дзельнік пад дзялімым, а ўсе прамежкавыя вылічэнні - уверсе над дзельнікам. Прычым тыя лічбы, якія пры прамежкавых вылічэннях падвяргаліся змене, індыйцы сціралі і на іх месца пісалі новыя.
Запазычыўшы гэты спосаб, арабы ў прамежкавых вылічэннях сталі лічбы перакрэсліваць і надпісваць над імі іншыя. Такое новаўвядзенне значна ўскладніла «дзяленне ўверх». Спосаб дзялення, блізкі да сучаснага, упершыню з'явіўся ў Італіі ў 15 стагоддзі. На працягу тысячагоддзяў дзеянне дзялення не пазначалі якім-небудзь знакам - яго проста называлі і запісвалі словам. Індыйскія матэматыкі першымі сталі пазначаць дзяленне пачатковай літарай з назвы гэтага дзеяння. Арабы ўвялі для абазначэння дзялення рысу. Рысу для абазначэння дзялення ад арабаў пераняў ў 13 стагоддзі італьянскі матэматык Фібаначы. Знак двукроп'я (:) для абазначэння дзялення увайшоў ва ўжытак у канцы 17 стагоддзя. Знак роўнасці (=) упершыню ўведзены англійскім настаўнікам тэматыкі Р. Рыкардам у 16 стагоддзі. Ён тлумачыў: «Ніякія два прадметы не могуць у большай ступені быць роўныя паміж сабой, як дзве паралельныя лініі». Але яшчэ ў егіпецкіх папірусах сустракаецца знак, які абазначаў роўнасць двух лікаў, хоць гэты знак зусім не падобны на знак =.