З гісторыі ўзнікнення нуля.
У Старажытным Рыме для здзяйснення вылічэнняў выкарыстоўвалі прыстасаванне - абак. Абак ў розных абліччах аказаўся вельмі жывучым вынаходствам. Абак і вылічэнне былі падзеленыя на некалькі пазіцыйных радоў. Так, каб пазначыць на шчотах лік пяцьсот два, на першым дроце (разрад адзінак) адкідвалі ў бок дзве косткі, на трэцяй (разрад сотняў) - пяць, а на другі (разрад дзясяткаў) нічога не адкідвалі, так як дзясяткаў у ліку не было. Вось гэты прабел, гэта пустое месца і стала першым правобразам нуля.
Кажучы вобразна, нуль як лік і лічба з'явіўся практычна з нічога. Адбылося гэта, вядома, не адразу. Адна справа - пустое месца, іншая справа - знак, і ўжо зусім трэцяе - лік. Першыя крокі ад прабелу да знака зрабілі вавіланяне. У Вавілоне навукоўцы вынайшлі лік нуль у 4 стагоддзі да нашай эры. Але іх вынаходства не атрымала шырокага распаўсюджвання, таму што іх матэматычны апарат грунтаваўся не на дзесятковай, а на 60-рычнай сістэме злічэння. Іншымі словамі, у іх матэматыцы было не 10, а 60 лічбаў. Сутнасць пазіцыйнай сістэмы заключалася ў тым, што кожны новы разрад запісваўся аднымі і тымі ж знакамі, толькі размяшчалі іх лявей папярэдняга разраду. У вавіланян знакаў было два: вертыкальным клінком пазначалі адзінку, а гарызантальным - дзясятку. Такім чынам, запісвалі лічбы да 59, а лік 60 зноў пазначалі вертыкальным клінком. Калі які-небудзь разрад адсутнічаў, вавіланяне ставілі прабел, а ў V ст. да н.э. сталі пазначаць прапушчаны разрад двума клінкамі.
Такім чынам, мы бачым, што першапачаткова нуль не выкарыстоўвалі як самастойны лік, але толькі як нейкі пунктуацыйны знак, які дапамагае правільна распазнаць лік.
Незалежна ад вавіланян нуль вынайшлі плямёны Майя, якія насяляюць Цэнтральную Амерыку. Нуль у Майя быў не лікам, а толькі значком прабелу і не ўдзельнічаў у матэматычных аперацыях. Вельмі цікава было даведацца, што Майя карысталіся лічбамі двух тыпаў: просты засноўваўся на кропках і рысачках, а больш складаны - на гліфах, гратэскавых асобах.
Радзімай нуля па праве лічаць Індыю. Геніяльным вынікам індыйскай матэматыкі стаў запіс любых лікаў з дапамогай дзесяці лічбаў, якімі мы карыстаемся цяпер і якія не зусім справядліва называем арабскімі (cамі арабы, дарэчы, заўсёды называлі іх індыйскімі).
Пазней за ўсіх знакам ўзнагародзілі злашчасны нуль. Само паняцце нуля (індыйцы называлі яго «сунья / шунья» - пустое), відаць, паўстала ў сярэдзіне V стагоддзя. Першы ж малюнак нуля было знойдзены ў ліку 270, запісаны на сцяне г.Гваліора (876 г.). Вельмі важна, што нуль тут упершыню стаіць у канцы ліка і вонкава нагадвае знаёмую нам дзірку ад абаранка (хіба што крыху менш за іншых лічбаў). Вось так на працягу стагоддзяў змянялася напісанне арабскіх лічбаў.
Пасля найвялікшага адкрыцця лічбы 0 для абазначэння адсутнай велічыні, стала магчымым узнікненне дзесятковай сістэмы!
Чаму на нуль дзяліць нельга?
Дзяліць на нуль нельга!» - Большасць школьнікаў завучваюць гэты лозунг на памяць, не задаючыся пытаннем: «Чаму?» А на самай справе вельмі цікава і важна ведаць, чаму ж нельга ?!
Уся справа ў тым, што чатыры дзеянні арыфметыкі - складанне, адніманне, множанне і дзяленне - на самай справе нераўнапраўных. Матэматыкі прызнаюць паўнавартаснымі толькі два з іх - складанне і множанне. Гэтыя аперацыі і іх уласцівасці ўключаюцца ў само азначэнне паняцця ліку. Усе астатнія дзеянні будуюцца тым ці іншым чынам з гэтых двух.
Разгледзім, напрыклад, адніманне. Што значыць 5 - 3? Школьнік адкажа на гэта проста: трэба ўзяць пяць прадметаў, адняць (прыбраць) тры з іх і паглядзець, колькі застанецца. Але вось матэматыкі глядзяць на гэтую задачу зусім па-іншаму: няма ніякага аднімання, ёсць толькі складанне. Таму запіс 5 - 3 азначае такі лік х, які пры складанні з лікам 3, дасць лік 5. Гэта значыць 5 - 3 = х, калі x + 3 = 5. У гэтым ураўненні няма ніякага аднімання. Ёсць толькі задача - знайсці падыходзячы лік.
Аналагічна гэтак жа ідзе справа з множаннем і дзяленнем. Запіс 8: 4 можна разумець як вынік падзелу васьмі прадметаў на чатыры роўныя стосы. Але ў сапраўднасці дзель пры дзяленні ліку 8 на лік 4 - гэта такі лік х, што здабытак x на 4 роўна 8. Гэта значыць 8: 4 = х, калі х • 4 = 8.
Вось тут і становіцца зразумелым, чаму нельга (а дакладней немагчыма) дзяліць на нуль. Запіс 5: 0 зводзіцца да задання знайсці такі лік, які пры множанні на 0 дасць 5, г.зн. x • 0 = 5. Але мы ведаем, што пры множанні на нуль заўсёды атрымліваецца 0. Гэта неад'емная ўласцівасць нуля, строга кажучы, частка яго азначэння. Такога ліку, якое пры множанні на 0 дасць нешта акрамя нуля, проста не існуе. Гэта значыць наша задача не мае рашэння. (Так, такое бывае, не ва ўсякай задачы ёсць рашэнне.) А значыць, запісу 5: 0 не адпавядае ніякі канкрэтны лік. Такім чынам, гэты запіс нічога не азначае, бо не мае сэнсу. Бессэнсоўнасць у гэтым запісе коратка фармулююць, кажучы, што на нуль дзяліць нельга.
А ці можна нуль дзяліць на нуль? На самай справе, ураўненне 0 • x = 0 лёгка рашаецца. Напрыклад, можна ўзяць x = 0, і тады атрымліваем 0 • 0 = 0. Выходзіць, 0: 0 = 0? Але не будзем спяшацца. Паспрабуем ўзяць x = 1. Атрымаем 0 • 1 = 0. Правільна? Значыць, 0: 0 = 1? Але ж так можна ўзяць любы лік і атрымаць 0: 0 = 5, 0: 0 = 127 і т. д. Але калі падыходзіць любы лік, то ў нас няма ніякіх падстаў спыніць свой выбар на нейкім адным з іх. Гэта значыць, мы не можам сказаць, якому ліку адпавядае запіс 0: 0. А раз так, то мы вымушаны прызнаць, што гэты запіс таксама не мае сэнсу. Выходзіць, што на нуль нельга дзяліць нават нуль. Вось такая асаблівасць ёсць у аперацыі дзялення. А дакладней - у аперацыі множання і звязанага з ёй ліка нуль.